Евгений – двукратный чемпион России среди юношей и победитель Всемирной детской олимпиады, прошедшей в 2000 году в Артеке. В следующем году он стал чемпионом мировой шахматной «Маккабиады» в Тель-Авиве, в 2002 году юный Алексеев выполнил норму гроссмейстера и выиграл международный турнир в Голландии на приз крупнейшей европейской металлургической компании «Хоговен».
В дни 300-летия Санкт-Петербурга Евгений Алексеев вместе с известными шахматистами Петром Свидлером, Виктором Корчным и Константином Сакаевым выступил в интернет-матче против сильнейших соперников из Парижа, за которых играл и действующий чемпион мира Владимир Крамник.